השבוע נשאלתי במסגרת עבודת ייעוץ האם ההנחה שאותה מניחים מודלי החיזוי האקטוארים בנוגע לכך שהתנהגות התשואות של ניירות ערך, שערי חליפין מדדי מחירים (אינדקס) וכו' על פני זמן בשוק ההון בישראל משקפת התפלגות נורמלית (סימטרית בצורת פעמון), היא עדיין רלוונטית וישימה או אם לאו, ואם לא כיצד ניתן לבצע כיול למודלי הניבוי הללו כך שיתאימו יותר להתפלגות האמיתית בשווקים.
במילים אחרות, הבעיה שאיתה צריכים להתמודד אקטוארים ומנהלי סיכונים היא שבגלל שמרבית המודלים האקטואריים מבוססים על הנחת התפלגות נורמלית של התשואות, הרי שההסתברויות המתקבלות ממודלים אלו להתרחשות אסונות פיננסיים נמוכות במידה רבה ממה שנצפה בפועל בשווקים ולכן הסתברויות אלו מהוות אומדני חסר להסתברויות האמיתיות.
משתנה כל הזמן
הבעיה החמורה ביותר בהתפלגות הנורמלית היא העובדה שזנבותיה "נעלמים" מהר מדי יחסית למה שנצפה אמפירית בנתונים פיננסיים. מבדיקה שערכה מחלקת המחקר של "שווי פנימי" המתמחה ביעוץ אקטוארי, ניהול סיכונים פיננסיים והערכות שווי מקצועיות ובלתי תלויות עולה כי כמעט כל שוק פיננסי חווה לפחות תזוזה יומית אחת בגודל של 4 סטיות תקן או יותר בכל שנה. שכיחות שכזו אינה מתיישבת עם לוח ההתפלגות נורמלית, שבה, ההסתברות לקרות תזוזה יומית בגודל של דבר כזה היא 0.0032% ליום אחד, או במילים של בני אדם: שכיחות של אחת ל- 125 שנים. ממצא אמפירי נוסף שמצאה מחלקת המחקר הוא שבכל שנה, לפחות שוק פיננסי אחד חווה תזוזה יומית אחת בגודל של 10 סטיות תקן או יותר, שכיחות של אחת ל-210 מיליון שנים.
את הממצאים האמפיריים של מחלקת המחקר ניתן להסביר במספר דרכים: להתפלגות האמיתית בשווקים יש זנבות שמנים יותר מאלו של ההתפלגות הנורמלית (למשל, ההתפלגות האמיתית בשווקים דומה יותר להתפלגות t עם 6 או 4 דרגות חופש מאשר להתפלגות נורמלית), לחילופין ההתפלגות האמיתית בשווקים היא לא פחות מקומבינציה של שתי התפלגויות נורמליות, אחת עם סיכון נמוך והשניה עם סיכון גבוה או לחילופי חילופין ההתפלגות האמיתית בשווקים איננה סטציונארית (קבועה) אלא משתנה כל הזמן.
מאורעות קיצוניים
לדעת מחלקת המחקר, ההסבר הראשון הוא בהחלט אפשרות. להתפלגות t ישנם זנבות שמנים יותר, מאלו של ההתפלגות הנורמלית, המשקפים טוב יותר את ההתרחשויות של מאורעות קיצוניים בנתונים פיננסיים אמפיריים. מידע זה מפורט בטבלה המצורפת, שבה הלוח הימני שבטבלה מדווח על הסתברות הזנב לקבל תזוזה יומית הנמוכה יותר ממספר מסוים של סטיות תקן.
לדוגמה, ההסתברות לראות תזוזה יומית בגודל של 3- סטיות תקן או יותר (כלומר 3-, 4-, 5- ואילך) היא 0.001, או 0.1% עבור התפלגות נורמלית, 0.012 (1.2%) עבור התפלגות t עם 6 דרגות חופש (להלן: ד"ח) ו- 0.02 (2%) עבור התפלגות t עם 4 דרגות חופש.
לשם הנוחות, הפכתי את ההסתברויות שלוח הימני שבטבלה למספר המאורעות הצפוי בשנה אחת, או 250 ימי מסחר. הלוח השמאלי העליון שבטבלה מראה שהמספרים התואמים הם 0.34, 3.00 ו-4.99 ימים ב- 250 יום עבור ההתפלגויות המתאימות.
להכפיל בלפחות 1.61
במילים אחרות, ההתפלגות הנורמלית צופה רק 0.3 ימים של תזוזה יומית בגודל של 3- סטיות תקן או יותר. עבור התפלגות t עם 4 דרגות חופש, מספר ההתרחשויות הצפוי בשנה אחת הוא כמעט 5 בשנה, וזה קרוב יותר למציאות, הרבה יותר מאשר ההתפלגות הנורמלית.
הלוח השמאלי התחתון שבטבלה מדווח על מספר סטיות התקן התואם לרמת ביטחון של 99% (זנב ימני) או לרמת מובהקות של 1% (זנב שמאלי). עבור ההתפלגות הנורמלית, מספר סטיות התקן (ה- α) הוא 2.33. עבור התפלגות t עם 4 דרגות חופש, האלפא היא 3.75, הרבה יותר גבוהה. היחס בין השניים הוא 1.61.
למעשה, המסקנה של מחלקת המחקר של שווי פנימי היא שעל מנת לבצע קליברציה למודלי החיזוי האקטואריים אשר מניחים התפלגות נורמלית של התשואות, יש להכפיל את תוצאת מודלי הניבוי האקטואריים האלה בלפחות 1.61.
הכותב הוא מייסד ויו"ר לשכת מעריכי השווי והאקטוארים בישראל והבעלים של פירמת שווי פנימי המתמחה בביצוע הערכות שווי וניהול סיכונים פיננסיים.
